Bilangan Berpangkat – Eksponen - Poin 100
Keberadaan internet membuat siapa saja bisa mengakses berbagai informasi, maka tidak heran belakangan ini banyak sekali betebaran situs-situs yang membahas mengenai Bilangan Berpangkat – Eksponen. Hal ini sangat logis mengingat di era pandemi ini, masyarakat kita lebih sering melakukan proses belajar mengajar secara daring. Baiklah sudah cukup basa-basinya, yuk langsung masuk ke pembahasan saja.
Penjelasan Lengkap Bilangan Berpangkat – Eksponen
Mungkin dari sebagian kalian telah mempelajari mengenai materi bilangan berpangkat. Atau mungkin belum pernah mendengar sama sekali apa itu bilangan berpangkat. Berikut informasi selengkapnya.
Materi bilangan berpangkat ini ternyata mempunyai banyak manfaat ataupun kegunaan yang sangat penting khususnya bagi para ilmuan-ilmuan.
Informasi selengkapnya mengenai bilangan berpangkat, simak pembahasan berikut ini.
Bilangan Berpangkat
Bilangan berpangkat merupakan suatu bilangan yang berguna untuk menyederhanakan penulisan serta penyebutan suatu bilangan yang mempunyai faktor-faktor perkalian yang sama.
Sebagai contoh: 3x3x3x3x3=… atau 7x7x7x7x=… , dan lain sebagainya.
Perkalian berbagai bilangan dengan faktor-faktor yang sama seperti di atas pada umumnya disebuat dengan perkalian berulang.
Bayangkan apabila yang dikalikan angkanya sangat banyak, maka kita juga akan mengelami kesulitan di dalam dalam penulisannya.
Hal tersebut tak lain sebab sangking banyaknya angka untuk satu kali bilangan pada perkalian tersebut.
Masing-masing perkalian berulang bisa kita tuliskan secara ringkas dengan memakai notasi angka bilangan berpangkat.
Sebagai contoh:
3 x 3 x 3 x 3 x 3 bilangan tersebut bisa kita ringkas kembali dengan memakai bilangan berpangkat menjadi 35
8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 dan angka tersebut bisa kita ringkas kembali hingga menjadi bilangan berpangkat 810
Cara membacanya:
35: Sepuluh pangkat 5
810 : Delapan pangakt 10
Pangkat di atas berguna untuk menentukan jumlah faktor yang di ulang.
Rumus bilangan berpangkat yaitu:
an=a×a×a×a…sebanyak n kali
Jenis Jenis Bilangan Berpangkat
Berikut akan kami berikan penjelasan pada masig-masing jenisnya. Simak baik-baik ulasan di bawah ini ya.
1. Bilangan Berpangkat Positif
Bilangan Eksponen merupakan suatu bentuk pada bilangan perkalian dengan bilangan yang sama kemudian di ulang-ulang atau pengertian singkatnya yaitu perkalian yang diulang-ulang.
- am x an = am+n
- am : an = am-n , untuk m>n dan b ≠ 0
- (am)n = amn
- (ab)m = am bm
- (a/b)m = am/bm , untuk b ≠ 0
Untuk lebih memahami uraian di atas, perhatikan baik-baik contoh soal di bawah ini.
2. Bilangan Berpangkat Negatif
Kemudian ialah pengertian dari bilangan berpangkat negatif yang merupakan bilangan yang mempunyai pangkat atau eksponen negatif (-).
Adapun beberapa sifat bilangan berpangkat negatif, antara lain ialah sebagai berikut:
a-n = 1/an atau an = 1/ a-n
Untuk lebih memahami uraian di atas, perhatikan baik-baik contoh soal di bawah ini:
Soal 1.
Tentukan sekaligus nyatakan dengan pangkat positif bilangan berpangkat di bawah ini:
1/ 6(a + b)-7 = ….
Jawab:
1/ 6(a + b)-7 = = 1/6 (a+b)7
Soal 2.
x1y2 / 2z6 = ….
Jawab:
x1y2 / 2z6 = 2-1x-1z-6 / y-2, dengan x ≠ 0 dan z ≠ 0.
3. Bilangan berpangkat Nol (0)
an/an = 1 berdasarkan dari sifat pembagian bilangan berpangkat positif maka bisa kita dapatkan:
an/an = an-n = a0, sehingga a0 = 1
Sehingga sifat dari bilangan berpangkat nol (0) yaitu “Jika nilai a merupakan bilangan riil serta a tidak sama dengan 0, maka a0 = 1″
Untuk lebih memahami uraian di atas, perhatikan baik-baik contoh soal di bawah ini:
Sederhanakan beberapa bilangan berpangkat di bawah ini:
Soal 1.
5(x2 – y2)(x2 – y2)0
Soal 2.
3x + 2 y / (3x + 2y)0
Jawab:
Soal 1.
5(x2 – y2)(x2 – y2)0 = 5(x2 – y2) x 1 = 5(x2 – y2), dengan x2 – y2 ≠ 0
Soal 2.
3x + 2 y / (3x + 2y)0 = 3x + 2y / 1 = 3x + 2y, dengan 3x + 2y ≠ 0
Demikianlah pembahasan yang dapat kita sampaikan terakti bilangan berpangkat, sekarang kita lanjutkan ke pembahasan yang ke dua yakni Bentuk Akar. Perhatikan baik-baik ulasan di bawah ini ya..
Sifat Sifat Bilangan Berpangkat
Berikut ini adalah beberapa sifat yang terdapat di dalam bilangan berpangkat, antara lian yakni:
1. Pangkat Bulat positif
Pengertian:
Sebagai contohnya a bilangan real serta n bilangan bulat positif. Notasi anakan menyatakan hasil kali dari bilangan a sebanyak n faktor. Sehingga dapat kita tuliskan menjadi:
an = a × a × a × … × a
Di mana : a x a x a x …. x a merupakan n faktor.
Keterangan:
- a merupakan basis bilangan berpangkat.
- n merupakan pangkat.
Sehingga, dapat kita ketahui bahwa:
- Pada uraian di atas, maka kita sepakati, a1 cukup ditulis dengan a.
- Tidak seluruh a0 dengan a bilangan real menyatakan 1. Pada saat a = 0 serta n = 0, maka an= 00, maka hasilnya tidak menentu.
- Apabila n merupakan suatu variabel sebagai eksponen dari a, maka perlu kita perhatikan semesta variabel tersebut.
Karena an = a × a × … × a sebanyak n faktor, ini hanya berlaku pada saat semesta n ∈N.
Untuk lebih memahami uraian di atas, perhatikan baik-baik contoh soal di bawah ini:
- 24 = 2 x 2 x 2 x 2 =16
- 32 = 3 x 3 = 9
2. Pangkat Bulat Negatif
Pengertian:
Untuk a bilangan real serta a ≠ 0, m bilangan bulat positif, maka di definisikan menjadi:
a-m = (1/a)m
Dari uraian di atas maka dapat dijelaskan lagi menjadi sebagai berikut:
Untuk lebih memahami uraian di atas, perhatikan baik-baik contoh soal di bawah ini:
3. Pangkat Nol
Pengertian:
Untuk a bilangan real serta a ≠ 0, maka a0 = 1.
Kenapa a tidak boleh sama dengan nol?
Seperti yang sudah dijelaskan di atas, pada saat a = 0 maka a0 = 00, maka hasilnya tidak menentu.
Sebagai contoh:
- 20 = 1
- 30 = 1
4. Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif
Berikut adalah beberapa sifat dari bilangan pangkat bulat positif:
Sifat-1
Apabila a bilangan real, m serta n bilangan bulat positif maka
am × an = am+n
Pembuktian:
Sifat di atas hanya berlaku apabila a merupakan bilangan real, m serta n merupakan bilangan bulat positif. Apabila m dan n bukan bilangan bulat positif, maka sifat-1 tidak berlaku. Contohnya: a = 0 dan m = n = 0, tidak berlaku.
Sebagai contoh:
22 x 23 = (2 x 2) x (2 x 2 x 2)
= 32
= 25
22 x 23 = 22+3
Sifat-2
Apabila a bilangan real serta a ≠ 0, m dan n bilangan bulat positif, sehingga:
Dalam sifat-2 tidak diperkenakan apabila a = 0, karena bentuk perpangkatan pada sifat-2 merupakan bentuk rasional.
Pada pecahan yang penyebutnya tidak lazim nol. Pada a = 0 dan m, n merupakan bilangan bulat positif, sehingga am atau an dimungkinkan hasilnya 0.
Apabila hasil am serta an keduanya nol, maka hasil baginya tidak menentu.
Apabila am = 0 dan an ≠ 0, maka hasil baginya 0. Namun, apabila am ≠ 0 dan an = 0, maka hasil baginya tak terdefinisi.
Sebagi contoh:
25 / 23 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 / 2 x 2 x 2
= 4
= 22
= 25-3
Perpangkatan Bilangan Bulat
Secara umum, perkalian sembarang bilangan bulat a sebanyak n kali atau n faktor, yaitu:
a × a × a × … × a atau jika ditulis menjadi an
Keterangan:
a = disebut sebagai bilangan pokok atau bilangan dasar
n = disebut sebagai pangkat atau eksponen
an = disebut sebagai bilangan berpangkat (dibaca a pangkat n)
Sifat-3
Jika a bilangan real serta a ≠ 0, m dan n merupakan bilangan bulat positif, maka (am)n = amn
Pembuktian:
Sebagi contoh:
(23)2 = (23) x (23)
= (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2)
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
= 26
Di mana (2 x 2 x 2) merupakan 3 faktor, 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 merupakan 6 faktor, dan lain sebagainya.
5. Pangkat Pecahan
Pengertian:
Contohnya a merupakan bilangan real dan a ≠ 0, serta m merupakan bilangan bulat positif, maka a1/m = p merupakan bilangan real positif, sehingga pm = a.
Sifat-sifat perpangkatan bilangan real dengan pangkat pecahan
Pengertian:
Contonya a merupakan bilangan real dan a ≠ 0, m, n merupakan bilangan bulat positif maka didefinisikan menjadi:
am/n = (a1/n)m
Misalkan a merupakan bilangan real dengan a > 0,
p/n dan m/n merupakan bilangan pecahan n ≠ 0, maka:
(am/n) = (ap/n) = (a)m+p/n
Pembuktian:
Apabila a merupakan bilangan real dengan a > 0, sehingga:
m/n dan p/q bilangan pecahan q, n ≠ 0, maka:
(am/n) = (ap/q) = (a)m/n+p/q
Rangkuman sifat bilangan berpangkat:
Untuk a, b merupakan bilangan bulat serta n, p, dan q merupakan bilangan bulat positif, maka berlaku:
Operasi Bilangan Berpangkat
- Bilangan negatif dipangkatkan dengan pangkat ganjil maka akan menghasilakn bilangan negatif.
- Bilangan negatif dipangkatkan dengan pangkat genap maka akan menghasilkan hasilnya bilangan positif.
- Perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama, maka pangkatnya akan dijumlahkan.
- Pembagian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama, maka pangkatnya akan dikurangkan.
- Sebuah bilangan berpangkat apabila dipangkatkan lagi, maka pangkatnya akan menjadi dikalikan.
Operasi Hitung Bilangan Berpangkat
Berikut akan kami berikan operasi hitung dalam bilangan berpangkat. Meliputi: sifat perkalian, pembagian, perpangkatan dan yang lainnya sekaligus contoh soal dan pembahasannya.
Perhatikan ulasan di bawah ini dengan seksama.
1. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat
Pada operasi hitung perkalian dalam bilangan berpangkat, berlaku sifat seperti di bawah ini:
am x an = am+n
Untuk lebih memahami cara mengenai rumus di atas, perhatikan uraian di bawah ini:
53 x 52 = (5 x 5 x 5) x (5 x 5)
53 x 52 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5
53 x 52 = 55
Sehingga dapat kita simpulkan menjadi 53 x 52 = 55
Contoh Soal Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat beserta Pembahasannya
Sederhanakan hasil perkalian dari bilangan berpangkat di bawah ini, lalu tentukan nilainya!
- 72 x 75
- (-2)4 x (-2)5
- (-3)3 x (-3)7
- 23 x 34
- 3y2 x y3
- 2x4 x 3x6
- -22 x 23
1. 72 x 75 = 72+5 = 77 = 823.543
2. (-2)4 x (-2)5 = -24+5 = -29 = – 512
3. (-3)3 x (-3)7 = -33+7 = -310 = 59.049
4. 23 x 34 , soal ini tidak bisa kita sederhakan kembali sebab bilangan pokonya berbeda (2 dan 3). Sehingga, kita hanya dapat menghitung nilainya saja, yaitu:
23 x 34 = 8 x 81 = 648
5. 3y2 x y3 = 3(y)2+3 = 3y5
6. 2x4 x 3x6 = (2 x 3)(x) 4+6 = 6x10
7. -22 x 23 = (-1)2 x 22 x 23 = (1) x 22+3 = 25 = 32
Untuk kasus bilangan pokok negatif yang berpangkat, seperti pada nomor 2, 3 , 7 terdapat poin penting yang harus kalian ketahui, yaitu:
Bilangan negatif pangkat genap
|
= Hasilnya positif
|
Bilangan negatif pangkat ganjil
|
= Hasilnya negatif
|
2. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat
Pada operasi hitung pembagian bilangan berpangkat, maka akan berlaku sifat seperti di bawah ini:
am : an = am-n
56 x 53 = (5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5) x (5 x 5 x 5)
56 x 53 = 5 x 5 x 5 (coret (5 x 5 x 5) x (5 x 5 x 5))
56 x 53 = 53
Sehingga, bisa kita simpulkan menjadi 56 x 53 = 56-3
Contoh Soal Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat dan Pembahasannya
- 45 / 53
- 34 / 23
1. 45 / 53 = 45-3 = 42 = 16
2. 34 / 23, soal ini tidak bisa kita sederhakan kembali sebab bilangan pokonya berbeda (3 dan 2). Sehingga, kita hanya dapat menghitung nilainya saja, yaitu:
34 / 23 = 81/ 8 = 10,125
3. Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat
Pada operasi hitung perpangkatan bilangan berpangkat, maka akan berlaku sifat seperti berikut ini:
(am)n = amxn
Untuk lebih memahami cara mengenai rumus di atas, perhatikan uraian di bawah ini:
(53)2 =(5 x 5 x 5)2
(53)2 = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5)
(53)2 = 56
Sehingga, bisa kita simpulkan menjadi (53)2 = 53×2
Contoh Soal Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat beserta Pembahasannya
- (43)5
- [(-2)4]2
- (43)5 = 43×5 = 415 = 1.073.741.824
- [(-2)4]2 = (-2)4×2 = (-2)8 = 256
4. Sifat Perpangkatan Suatu Perkalian Dua Bilangan
Pada operasi hitung perpangkatan pada sebuah perkalian dua bilangan, maka akan berlaku sifat seperti berikut ini:
(a x b)m = am x bm
Untuk lebih memahami cara mengenai rumus di atas, perhatikan uraian di bawah ini:
(3 x 5)2 = (3 x 5) x (3 x 5)
(3 x 5)2 =(3 x 3) x (5 x 5)
(3 x 5)2 = 32 x 52
Sehingga, bisa kita simpulkan menjadi (3 x 5)2 = 32 x 52
Contoh Soal Sifat Perpangkatan Suatu Perkalian 2 Bilangan dan Pembahasannya
- (2 x 7)2
- [(1/2) x (1/3)]3
- (2 x 7)2 = 22 x 72 = 4 x 49 = 196
- [(1/2) x (1/3)]3 = (1/2)3 x (1/3)3 = (1/8) x (1/27) = 1/216
5. Sifat Perpangkatan Suatu Pembagian Dua Bilangan
Dalam operasi hitung perpangkatan suatu pembagian dua bilangan, berlaku sifat sebagai berikut:
(a : b)m = am : bm
Untuk lebih memahami cara mengenai rumus di atas, perhatikan uraian di bawah ini:
(3/5)2 = (3/5) x (3/5)
(3/5)2 = (3 x 3)/(5 x 5)
(3/5)2 = 32/52
Sehingga, bisa kita simpulkan menjadi (3/5)2 = 32/52
Contoh Soal Sifat Perpangkatan Suatu Pembagian 2 Bilangan dan Pembahasannya
Sederhanakan hasil perpangkatan dari bilangan berpangkat di bawah ini, lalu tentukan nilainya!
- (2/3)2
- [(−3)/2]3
- (2/3)2 = 22/52 = 4/25
- [(−3)/2]3 = (−3)3/23 = −27/8
6. Sifat Perpangkatan Bilangan nol
Apabila a merupakan bilangan real (a ∈ R) serta n merupakan bilangan bulat positif (n ≥ 1), maka sifat-sifat perpangkatan bilangan 0 (nol) ialah sebagai berikut:
- ao = 1
- 0n = 0
- 0o = tak terdefinisi
Untuk membuktikan sifat pangkat darir bilangan nol nomor 1, simak penjelasan di bawah ini:
24 : 24 = 24-4 = 20 sehingga,
24 : 24 = 20, sebab 24 : 24 = 16/16 = 1, maka
20 = 1
Dengan pembuktian tersebut, maka dapat kita simpulkan jika seluruh bilangan real kecuali nol jika kita pangkatkan dengan 0 (nol) maka hasilnya akan sama dengan 1.
Untuk pembuktian sifat pangkat bilangan nol nomor 2, simak penjelasan di bawah ini:
01 = 0 × 0 = 0
02 = 0 × 0 × 0 = 0
03 = 0 × 0 × 0 × 0 = 0
Dengan pembuktian di atas, maka bisa kita simpulkan jika bilangan nol apabila kita pangkatkan sebanyak apa pun hasilnya akan selalu nol.
Untuk pembuktian sifat pangkat bilangan nol nomor 3, simak penjelasan di bawah ini:
Kita tahu jika nilai 0n = 0, sehingga,
0n/0n = 0/0, nilai 0/0 = seluruh bilangan, karena seluruh bilangan dikalikan nol hasilnya yaitu nol.
Maka dapat kita tuliskan bentuk persamaan lainnya, seperti:
0n/0n = 0n-n
0n/0n = 00 karena 0n/0n = 0/0 = seluruh bilangan, maka
00 = seluruh bilangan
seluruh bilangan artinya dapat 1, 12, 123, 1234, 12345, 13456 dan seterusnya. Maka dari itu, definisinya tidak jelas.
Sehingga bisa kita simpulkan jika bilangan nol pangkat nol hasilnya tidak terdefinisi.
Bentuk Akar
Simbol akar “√” pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan asal Jerman yang bernama Christoff Rudoff.
Di dalam bukunya dengan judul Die Coss. Simbol tersebut dipilih sebab mirip dengan huruf ” r ” yang mana diambil dari kata “radix”, yang merupakan bahasa latin bagi akar pangkat dua.
Sebagaimana bilangan berpangkat yang mempunyai beberapa sifat-sifat, bentuk dari akar pun juga mempunyai beberapa sifat, diantaranya yakni:
- √a2 = a
- √a x b = √a x √b ; a ≥ 0 dan b ≥ 0
- √a/b = √a/√b ; a ≥ 0 dan b ≥ 0
Demikianlah ulasan singkat kali ini yang dapat kami sampaikan mengenai Bilangan Berpangkat – Eksponen. Semoga ulasan di atas mengenai Bilangan Berpangkat – Eksponen dapat kalian jadikan sebagai bahan belajar kalian.
The post Bilangan Berpangkat – Eksponen appeared first on Yuksinau.
ARTIKEL PILIHAN PEMBACA :
Comments
Post a Comment